如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E...

（1）EF∥AC；（2）四边形ADEG为矩形。 【解析】 试题分析：（1）根据∠EFB与∠FEB都是弦切角，可得△ABC是等边三角形，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，即△BFE为等边三角形，所以求得∠BAC=∠BFE，∠BCA=∠BEF，可证明EF∥AC； （2）根据圆切BC于E，EG为直径，AD=EG，AD⊥BC，可判定四边形ADEG为矩形； （3）由（1）（2）的结论，证明AC垂直平分FG；再根据垂径定理，可知AC必过圆心，又EG为直径，所以AC与GE的交点O为此圆的圆心． （1）EF∥AC； （2）四边形ADEG为矩形。 理由：∵EG⊥BC，E为切点， ∴EG为直径， ∴EG=AD 又∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴AD∥EG，即四边形ADEG为矩形。 （3）连接FG， 由（2）可知EG为直径， ∴ FG⊥EF， 又由（1）可知，EF∥AC， ∴AC⊥FG， 又∵四边形ADEG为矩形， ∴EG⊥AG，则AG是已知圆的切线。 而AB也是已知圆的切线，则AF=AG， ∴ AC是FG的垂直平分线，故AC必过圆心， 因此，圆心O就是AC与EG的交点。 说明：也可据△AGO≌△AFO进行说理。 考点：本题综合考查了矩形的判定和性质、切线的性质和垂径定理