抛物线过点，顶点为M点． （1）求该抛物线的解析式； （2）试判断抛物线上是否存...

（1）；（2）；（3）存在． 【解析】 试题分析：（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5）三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b、c的值，得出抛物线解析式； （2）抛物线上存在一点P，使∠POM=90˚．设（a，a2-4a），过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F，利用互余关系证明Rt△OEP∽Rt△MFO，利用相似比求a即可； （3）抛物线上必存在一点K，使∠OMK=90˚．过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N，在Rt△OMN中，利用互余关系证明△OFM∽△MFN，利用相似比求N点坐标，再求直线MN解析式，将直线MN解析式与抛物线解析式联立，可求K点坐标． （1）根据题意，得 解得           ∴ 抛物线的解析式为． （2）抛物线上存在一点P，使∠POM＝90˚． x=，. ∴ 顶点M的坐标为． 设抛物线上存在一点P，满足OP⊥OM，其坐标为． 过P点作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F． 则 ∠POE＋∠MOF＝90˚，∠POE＋∠EPO＝90˚． ∴ ∠EPO＝∠FOM． ∵ ∠OEP＝∠MFO＝90˚， ∴ Rt△OEP∽Rt△MFO．  ∴ OE∶MF=EP∶OF． 即． 解，得（舍去），． ∴ P点的坐标为．        （3） 过顶点M作MN⊥OM，交y轴于点N．则 ∠FMN＋∠OMF＝90˚． ∵ ∠MOF＋∠OMF＝90˚，  ∴ ∠MOF＝∠FMN．  又∵ ∠OFM＝∠MFN＝90˚， ∴ △OFM∽△MFN．  ∴ OF∶MF＝MF∶FN． 即 4∶2＝2∶FN．∴ FN＝1． ∴ 点N的坐标为（0，-5）．       设过点M，N的直线的解析式为．  解，得  直线的解析式为． ∴   把①代入②，得 ． ．  ∴ 直线MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点M）． ∴ 抛物线上必存在一点K，使∠OMK＝90˚． 考点：本题考查了二次函数的综合运用