已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于E点，...

（1）通过全等三角形△BCE≌△DCF的对应角∠EBC=∠FDC、对顶角∠BEC=∠DEM可以证得△BCE∽△DME，然后由相似三角形的对应角相等推知∠BCE=∠DME=90°，即BM⊥DF； （2）由等腰三角形的判定与性质知BM是等腰三角形BDF的中垂线．根据相似三角形△BMF∽△DME的对应边成比例、等腰三角形的性质列出比例式=，即ME•MB=MD2，最后在直角△DCF中利用勾股定理来求MD2的值． （1）证明：在△BCE和△DCF中， ∵， ∴△BCE≌△DCF（SAS）， ∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的对应边相等），即∠EBC=∠EDM， 在△BCE和△DME中， ∵， ∴△BCE∽△DME， ∴∠BCE=∠DME=90°（相似三角形的对应角相等），即BM⊥DF； （2）【解析】 ∵BC=2， ∴BD=2． 又∵BE平分∠DBC交DF于M，BM⊥DF， ∴BD=BF（等腰三角形“三合一”的性质），DM=FM， ∴CF=2-2． 在△BMF和△DME中， ∠MBF=∠MDE，∠BMF=∠DME=90°， ∴△BMF∽△DME， ∴=， ∴=，即ME•MB=MD2， ∵DC2+FC2=（2DM）2，即22+（2-2）2=4DM2， ∴DM2=4-2，即ME•MB=4-2．