如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分...

（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线； （2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，有AD=2DE；在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，有BD=2AD=4DE，即可得出答案． （1）证明：连接OA， ∵DA平分∠BDE， ∴∠BDA=∠EDA． ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠OAD=∠EDA， ∴OA∥CE．（3分） ∵AE⊥DE， ∴∠AED=90°． ∴∠OAE=∠DEA=90°． ∴AE⊥OA． ∴AE是⊙O的切线．（5分） （2）【解析】 ∵BD是直径， ∴∠BCD=∠BAD=90°． ∵∠DBC=30°，∠BDC=60°， ∴∠BDE=120°．（6分） ∵DA平分∠BDE， ∴∠BDA=∠EDA=60°． ∴∠ABD=∠EAD=30°．（8分） ∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°， ∴AD=2DE． ∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°， ∴BD=2AD=4DE． ∵DE的长是1cm， ∴BD的长是4cm．（10分）