如图，正三角形ABC的边长为3+． （1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边...

（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示； （2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长； （3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：S=+（m-n）2，可见S的大小只与m、n的差有关： ①当m=n时，S取得最小值； ②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问． 【解析】 （1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求． （2）设正方形E′F′P′N′的边长为x， ∵△ABC为正三角形， ∴AE′=BF′=x． ∵E′F′+AE′+BF′=AB， ∴x+x+x=3+， ∴x=，即x=3-3， （没有分母有理化也对，x≈2.20也正确） （3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°． 设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n）， 它们的面积和为S，则NE=，PE=n． ∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）． ∴S=m2+n2=PN2， 延长PH交ND于点G，则PG⊥ND． 在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m-n）2． ∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3． ∴S=[32+（m-n）2]=+（m-n）2 ①当（m-n）2=0时，即m=n时，S最小． ∴S最小=； ②当（m-n）2最大时，S最大． 即当m最大且n最小时，S最大． ∵m+n=3， 由（2）知，m最大=3-3． ∴S最大=[9+（m最大-n最小）2] =[9+（3-3-6+3）2] =99-54…． （S最大≈5.47也正确）