已知：如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，CD=12，AD=...

（1）设x秒时MN∥BC，过点A作AE∥BC交CD于E，由平行线、平行公理的推论及等腰梯形的性质得出∠D=∠MND，则MN=MD；再由MN∥AE，根据平行线分线段成比例定理得出MN：AE=DN：DE，求出MN=10-x；然后根据MN=MD列出关于x的方程，解方程即可； （2）过点A作AF⊥CD于点F，过点M作MG⊥CD于点G，则MG∥AF．先由等腰梯形的性质求出DF=3，则在直角△ADF中，运用勾股定理得出AF=4，再由MG∥AF，根据平行线分线段成比例定理得出MG：AF=DM：AD，求出MG=x，然后根据三角形的面积公式即可得到求y与x之间的函数关系式； （3）当多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的时，△DMN的面积是梯形ABCD面积的，由此列出方程，整理得出x2-6x+15=0，即可判断这样的时刻不存在； （4）先由轴对称的性质得出DM′=DM，M′N=MN，再由（1）知，x=秒时MN=MD，根据四边相等的四边形是菱形得出x=秒时四边形DMNM′是菱形． 【解析】 （1）如图，设x秒时MN∥BC，此时DM=x，CN=2x． 过点A作AE∥BC交CD于E，则∠AED=∠C， ∵MN∥BC，∴MN∥AE， ∴∠MND=∠AED， ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD， ∴∠D=∠C， ∴∠D=∠MND， ∴MN=MD． ∵MN∥AE， ∴MN：AE=DN：DE，即MN：5=（12-2x）：6， 解得MN=10-x． ∵MN=MD， ∴10-x=x， 解得x=． 故秒时MN∥BC； （2）如图，过点A作AF⊥CD于点F，过点M作MG⊥CD于点G，则MG∥AF． ∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=6，CD=12， ∴DF=（CD-AB）=3． 在直角△ADF中，∠AFD=90°，AD=5，DF=3， ∴AF==4． ∵MG∥AF， ∴MG：AF=DM：AD，即MG：4=x：5， ∴MG=x， ∴y=DN•MG=×（12-2x）×x=-x2+x． 故所求y与x之间的函数关系式为y=-x2+x； （3）不存在某一时刻，能够使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的．理由如下： ∵△DMN的面积+多边形ABCNM的面积=梯形ABCD面积， ∴当多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的时，△DMN的面积是梯形ABCD面积的， ∴-x2+x=××（6+12）×4， 整理得x2-6x+15=0， ∵△=36-60=-24＜0， ∴x无解． 故不存在某一时刻，能够使多边形ABCNM的面积是梯形ABCD面积的． （4）在两点移动过程中，以DN为对称轴将△DMN翻折，四边形DMNM′能成为菱形．理由如下： 由轴对称的性质可知，DM′=DM，M′N=MN， 又由（1）知，x=秒时MN=MD， ∴x=秒时MN=MD=DM′=M′N， ∴x=秒时四边形DMNM′是菱形．