如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的...

点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，3），则一定有BC∥OA．则四边形ABCO是直角梯形． （1）PQ平分四边形OABC的面积，则四边形OQPC的面积即可求解，且这个四边形的直角梯形或矩形，据此即可得到一个关于t的方程，即可求解； （2）△PMQ∽△BCO时，PQ⊥OB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值； （3）当PQ∥AB时，四边形ABPQ是平行四边形，即BP=AQ，据此即可求解； （4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F，则OF=QF，根据勾股定理即可求解． 【解析】 （1）由题意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3 ∴梯形OABC的面积=×（4+8）×3=18 当PQ平分四边形OABC的面积时×（t+8-2t）×3=9 解得t=2 即当t=2时，PQ平分四边形OABC的面积（3分） （2）当PQ⊥OB时，作PM⊥OA于点M，易证△PMQ∽△BCO ∴=， ∴= 解得：t= 即：当t=时，PQ⊥OB．（6分） （3）当PQ∥AB时， BP=AQ ∴4-t=2t 解得t= 即当t=时，PQ∥AB（9分） （4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F 则OF=QF 4t=8 t=2 OP=OQ时， 32+t2=（8-2t）2 解得t1=（不合题意，舍去） t2= ∴t= 当QO=QP时 32+（8-3t）2=（8-2t）2 解得t1= t2=． 综上所述：当t=2或t=或t=或t=时，△OPQ是等腰三角形．