已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是的中点，连接B...

（1）由于AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，只需证明P是Rt△ACQ斜边AQ的中点即可；由垂径定理易知弧AC=弧AE，而C是弧AD的中点，那么弧CD=弧AE，即∠PAC=∠PCA，根据等角的余角相等，还可得到∠AQC=∠PCQ，由此可证得AP=PC=PQ，即P是△ACQ的外心； （2）由（1）的相等弧可知：∠ABC=∠ACE=∠CAQ，那么它们的正切值也相等；在Rt△CAF中，根据CF的长及∠ACF的正切值，通过解直角三角形可求得AC的长，进而可在Rt△CAQ中，根据∠CAQ的正切值求出CQ的长； （3）由（1）知：PQ=CP，则所求的乘积式可化为：CF2=FP•FG；在Rt△ACB中，由射影定理得：CF2=AF•FB，因此只需证明AF•FB=FG•FP即可，将上式化成比例式，证线段所在的三角形相似即可，即证Rt△AFP∽Rt△GFB． （1）证明：∵C是的中点，∴， ∴∠CAD=∠ABC ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°． ∴∠CAD+∠AQC=90° 又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90° ∴∠AQC=∠PCQ ∴在△PCQ中，PC=PQ， ∵CE⊥直径AB，∴ ∴ ∴∠CAD=∠ACE． ∴在△APC中，有PA=PC， ∴PA=PC=PQ ∴P是△ACQ的外心． （2）【解析】 ∵CE⊥直径AB于F， ∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC=，CF=8， 得． ∴由勾股定理，得BC== ∵AB是⊙O的直径， ∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC==，BC=， ∴AC=10， 易知Rt△ACB∽Rt△QCA， ∴AC2=CQ•BC， ∴CQ==； （3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ∴∠DAB+∠ABD=90° 又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G； ∴Rt△AFP∽Rt△GFB， ∴，即AF•BF=FP•FG 易知Rt△ACF∽Rt△CBF， ∴CF2=AF•BF（或由射影定理得） ∴FC2=PF•FG， 由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC ∴（FP+PQ）2=FP•FG．