已知抛物线y=x2+1（如图所示）． （1）填空：抛物线的顶点坐标是（_____...

（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可； （2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标； （3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标， 【解析】 （1）顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x=O）． （2）∵△PAB是等边三角形， ∴∠ABO=90°-60°=30°． ∴AB=20A=4． ∴PB=4． 解法一：把y=4代入y=x2+1， 得  x=±2． ∴P1（2，4），P2（-2，4）．   解法二：∴OB==2 ∴P1（2，4）．     根据抛物线的对称性，得P2（-2，4）．  （3）∵点A的坐标为（0，2），点P的坐标为（2，4） ∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b ∴ 解得： ∴解析式为：y=x+2 设存在点N使得OAMN是菱形， ∵点M在直线AP上， ∴设点M的坐标为：（m，m+2） 如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，AQ=OQ-OA=m+2-2=m ∵四边形OAMN为菱形， ∴AM=AO=2， ∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2， 即：m2+（m）2=22 解得：m=± 代入直线AP的解析式求得y=3或1， 当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况： 当N在右图1位置时， ∵OA=MN， ∴MN=2， 又∵M点坐标为（，3）， ∴N点坐标为（，1），即N1坐标为（，1）． 当N在右图2位置时， ∵MN=OA=2，M点坐标为（-，1）， ∴N点坐标为（-，-1），即N2坐标为（-，-1）． 当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况： 第一种是当点M在线段PA上时（PA内部）我们求出N点坐标为（-，1）； 第二种是当M点在PA的延长线上时（在第一象限）我们求出N点坐标为（，-1） ∴存在N1（，1），N2（-，-1）N3（-，1），N4（，-1）使得四边形OAMN是菱形．