如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=24，点P是BC边...

（1）当△ABC与△DAP相似时，应有∠APD=∠B或∠APD=∠C，即∠APD为30°或60°． （2）设PC=x，由PD∥BA，得∠BAC=∠PDC=90°，∴AC=BC•cos60°=12，CD=x•cos60°=x， ∴AD=12-x，而PD=x•sin60°=x，∴S△APD=PD•AD把PD，AD的值代入，得到S△APD=-（x-12）2+18． ∴PC等于12时，△APD的面积最大，最大面积是18． （3）设以BP和AC为直径的圆心分别为O1、O2，过O2作O2E⊥BC于点E，设⊙O1的半径为x，则BP=2x，AC=12， ∴O2C=6，∴CE=6•cos60°=3．∴由勾股定理得，O2E=，O1E=21-x， 由于⊙O1和⊙O2外切，则圆心距O1O2=x+6．在Rt△O1O2E中，有O1O22=O2E2+O1E2，即（x+6）2=（21-x）2+（3）2，求解得到x的值，进而求得BP的值． 【解析】 （1）当△ABC与△DAP相似时， ∠APD的度数是60°或30°． （2）设PC=x， ∵PD∥BA，∠BAC=90°， ∴∠PDC=90°， 又∵∠C=60°， ∴AC=24•cos60°=12， CD=x•cos60°=x， ∴AD=12-x，而PD=x•sin60°=x， ∴S△APD=PD•AD=x•（12-x）=-（x2-24x） =-（x-12）2+18． ∵a=-＜0， ∴抛物线的开口方向向下，有最大值， 即当x=12时，最大值是18， ∴PC等于12时，△APD的面积最大，最大面积是18． （3）连接O1O2，设以BP和AC为直径的圆心分别为O1、O2，过O2作O2E⊥BC于点E， 设⊙O1的半径为x，则BP=2x，显然，AC=12， ∴O2C=6， ∴CE=6•cos60°=3， ∴O2E=，O1E=24-3-x=21-x， 又∵⊙O1和⊙O2外切， ∴O1O2=x+6， 在Rt△O1O2E中，有O1O22=O2E2+O1E2， ∴（x+6）2=（21-x）2+（3）2， 解得：x=8， ∴BP=2x=16．