如图所示，已知⊙O的直径AB=1，延长AB到C，使BC=AB，过C作⊙O的切线C...

（1）连结OD，根据切线的性质得OD⊥DC，由于BC=AB=1得到OD=，OC=，然后根据勾股定理可计算出DC=； （2）由AB为直径得到∠ADB=90°，则∠A+∠OBD=90°，又∠CDB+∠ODB=90°，而∠ODB=∠OBD，可得到∠CDB=∠A，根据三角形相似的判定方法得到△CDB∽△CAD，则DB：DA=CD：CA=：2，即可得到AD：BD的值； （3）利用AD：BD的值可设DB=x，则AD=x，在Rt△ADB中，利用勾股定理得到（x）2+x2=1，解得x=，则DB=，AD=，然后根据三角形面积公式可计算出△ABD的面积． 【解析】 （1）连结OD，如图， ∵CD为⊙O的切线， ∴OD⊥DC， ∵BC=AB=1， ∴OD=，OC=， 在Rt△ODC中，DC===； （2）∵∠CDB+∠ODB=90°， 而∠ODB=∠OBD， ∴∠CDB+∠OBD=90°， ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠A+∠OBD=90°， ∴∠CDB=∠A， 而∠C公共， ∴△CDB∽△CAD， ∴DB：DA=CD：CA=：2， ∴AD：BD=2：=：1； （3）设DB=x，则AD=x， 在Rt△ADB中，AB=1， ∵AD2+DB2=AB2， ∴（x）2+x2=1， 解得x=， ∴DB=，AD=， ∴△ABD的面积=×DB×AD=××=．