如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，...

（1）根据A，B，C三点的坐标，可以运用交点式法求得抛物线的解析式．再根据顶点的坐标公式求得抛物线的顶点坐标； （2）根据B，D的坐标运用待定系数法求得直线BD的解析式，再根据三角形的面积公式以及y与x之间的函数关系式得到s与x之间的函数关系式．点P的横坐标即x的值位于点D和点B的横坐标之间．根据二次函数的顶点式即可分析其最值； （3）根据（2）中的坐标得点E和点C重合．过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M．要求P′H和OH的长．P′H的长可以运用直角三角形P′CM的面积进行计算．设MC=m，则MF=m，P′M=3-m，P′E=．根据勾股定理列方程求解，得到直角三角形P′CM的三边后，再根据直角三角形的面积公式进行计算．要求OH的长，已知点C的坐标，只需根据勾股定理进一步求得CH的长即可．把求得的点P的坐标代入抛物线解析式即可判断点P′是否在该抛物线上． 【解析】 （1）设y=a（x+1）（x-3），（1分） 把C（0，3）代入，得a=-1，（2分） ∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．（4分） 顶点D的坐标为（1，4）．（5分） （2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入， 得，（6分） 解得k=-2，b=6． ∴直线BD解析式为y=-2x+6．（7分） s=PE•OE=xy=x（-2x+6）=-x2+3x，（8分） ∴s=-x2+3x（1＜x＜3）（9分） s=-（x2-3x+）+=-（x-）2+．（10分） ∴当时，s取得最大值，最大值为．（11分） （3）当s取得最大值，，y=3， ∴．（5分） ∴四边形PEOF是矩形． 作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E、P′F． 法一：过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M． 设MC=m，∵CO∥PF， ∴∠2=∠PFC， 由对称可知∠PFC=∠P′FC， ∴∠2=∠P′FC， 则MF=MC=m，P′M=3-m，P′E=． 在Rt△P′MC中，由勾股定理，． 解得m=． ∵CM•P′H=P′M•P′E， ∴P′H=． 由△EHP′∽△EP′M，可得，EH=． ∴OH=3-． ∴P′坐标．（13分） 法二：连接PP′，交CF于点H，分别过点H、P′作PC的垂线，垂足为M、N． 易证△CMH∽△HMP． ∴． 设CM=k，则MH=2k，PM=4k． ∴PC=5k=，k=． 由三角形中位线定理，PN=8k=，P′N=4k=． ∴CN=PN-PC=-=，即x=-． y=PF-P′N=3- ∴P′坐标（-，）．（13分） 把P′坐标（-）代入抛物线解析式，不成立，所以P′不在抛物线上．（14分）