如图，已知R t△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于...

（1）连接OD．欲证ED与⊙O相切，只需证明OD⊥DE； （2）通过相似三角形△BDC∽△ADB的对应边成比例知=，由此可以求得线段BC的长度． （1）证明：连接OD． ∵OD=OB（⊙O的半径）， ∴∠OBD=∠BDO（等边对等角）； ∵AB是直径（已知）， ∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）， ∴∠ADB=∠BDC=90°； 在Rt△BDC中，E是BC的中点， ∴BE=CE=DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴∠DBE=∠BDE（等边对等角）； 又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°， ∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°（等量代换）； ∵点D在⊙O上， ∴ED与⊙O相切； （2）在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=4， ∴AB=5（勾股定理）； 在Rt△BDC和Rt△ADB中，∠ADB=∠BDC=90°，∠ABC=90°， ∴∠ABD=∠BCD， ∴△BDC∽△ADB， ∴=．即=， ∴BC=．