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如图(1),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物...

如图(1),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,在x轴上是否存在点Q,使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值.
(图(2)、图(3)供画图探究)
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(1)把B、C的坐标代入抛物线,得出方程组,求出方程组的解即可; (2)求出C、P的坐标,求出PC的值,PC是腰时,有3个点,PC是底时,有1个点,根据PC的值求出即可; (3)连接BP,根据相似得出比例式=和=,代入求出BQ即可; (4)连接CE、BE,经过点E作x轴的垂线FE,交直线BC于点F,设点F(x,-x+3),点E(x,x2-4x+3),推出EF=-x2+3x,根据S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF•OB代入求出即可. 【解析】 (1)由已知,得B(3,0),C(0,3), ∴, 解得, ∴抛物线解析式为y=x2-4x+3; (2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴对称轴为x=2,顶点坐标为P(2,-1), ∴满足条件的点M分别为M1(2,7),M2(2,2-1),M3(2,),M4(2,-2-1); (3)由(1),得A(1,0), 连接BP, ∵∠CBA=∠ABP=45°, ∴当=时,△ABC∽△PBQ, ∴BQ=3. ∴Q1(0,0), ∴当=时,△ABC∽△QBP, ∴BQ=. ∴Q′(,0). (4)当0<x<3时,在此抛物线上任取一点E,连接CE、BE,经过点E作x轴的垂线FE,交直线BC于点F, 设点F(x,-x+3),点E(x,x2-4x+3), ∴EF=-x2+3x, ∴S△CBE=S△CEF+S△BEF=EF•OB, =-x2+x, =-(x-)2+, ∵a=-<0, ∴当x=时,S△CBE有最大值, ∴y=x2-4x+3=-, ∴E(,-).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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