在矩形ABCD中，点F在AD延长线上，且DF=DC，M为AB边上一点，N为MD的...

（1）易证四边形ABCD是正方形，证明△NGE≌△BAN，即可得到∠1+∠3=90°，则BN⊥NE，然后根据三角函数即可利用正方形的边长表示吃CE的长度，则可以得到的值； （2）延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，易证△BMN≌△GDN，则可以证得NE是△BGE边上的中线，且NE=BG，从而得到△BGE是直角三角形，从而得到BN⊥NE，然后证明△CHE是等腰直角三角形，而BM=CH，即可证得； （3）同（2）可以延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE，可以证得NE是△BGE边上的中线，且NE=BG，从而得到△BGE是直角三角形，然后证明△NGE≌△BAN，从而得到BN⊥NE；当AB≠BC时，E，C，D不在一条直线上，因而比值的关系不成立． 【解析】 （1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE；=． 证明：如图，过点E作EG⊥AF于G，则∠EGN=90°． ∵矩形ABCD中，AB=BC， ∴矩形ABCD为正方形． ∴AB=AD=CD，∠A=∠ADC=∠DCB=90°． ∴EG∥CD，∠EGN=∠A，∠CDF=90°．    ∵E为CF的中点，EG∥CD， ∴GF=DG=． ∴． ∵N为MD（AD）的中点， ∴AN=ND=． ∴GE=AN，NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB． ∴△NGE≌△BAN． ∴∠1=∠2． ∵∠2+∠3=90°， ∴∠1+∠3=90°． ∴∠BNE=90°． ∴BN⊥NE．       ∵∠CDF=90°，CD=DF， 可得∠F=∠FCD=45°，． 于是． （2）在（1）中得到的两个结论均成立． 证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE， 交CD于点H． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CG． ∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN． ∵N为MD的中点， ∴MN=DN． ∴△BMN≌△GDN． ∴MB=DG，BN=GN． ∵BN=NE， ∴BN=NE=GN． ∴∠BEG=90°．                ∵EH⊥CE， ∴∠CEH=90°． ∴∠BEG=∠CEH． ∴∠BEC=∠GEH． 由（1）得∠DCF=45°． ∴∠CHE=∠HCE=45°． ∴EC=EH，∠EHG=135°． ∵∠ECB=∠DCB+∠HCE=135°， ∴∠ECB=∠EHG． ∴△ECB≌△EHG． ∴EB=EG，CB=HG． ∵BN=NG， ∴BN⊥NE． ∵BM=DG=HG-HD=BC-HD=CD-HD=CH=CE， ∴=； （3）BN⊥NE；不一定等于． 证明：可以延长BN交CD的延长线于点G，连接BE、GE，过E作EH⊥CE．GE交AD于点Q． 同（2）可以证得：△BMN≌△GDN， 则BN=NG=NE，则△BEG是直角三角形，∠BEG=90°， 与（2）相同，可证：△ECB≌△ECG， ∴EB=EG，CB=CG． ∵BN=NG， ∴BN⊥NE． 同（2）可得：GQ=CE≠DG=BM， 故不一定等于（只有当Q与D重合时才相等）．