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如图,在菱形ABCD中,AB=2cm,∠BAD=60°,E为CD边中点,点P从点...

如图,在菱形ABCD中,AB=2cm,∠BAD=60°,E为CD边中点,点P从点A开始沿AC方向以每秒manfen5.com 满分网cm的速度运动,同时,点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动,当点P到达点C时,P,Q同时停止运动,设运动的时间为x秒.
(1)当点P在线段AO上运动时.
①请用含x的代数式表示OP的长度;
②若记四边形PBEQ的面积为y,求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)显然,当x=0时,四边形PBEQ即梯形ABED,请问,当P在线段AC的其他位置时,以P,B,E,Q为顶点的四边形能否成为梯形?若能,求出所有满足条件的x的值;若不能,请说明理由.

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(1)①根据菱形的性质求出OA的长度,再求出AP的长等于2x,OP的长即可求出; ②过E作EH⊥BD于H,表示出BQ的长等于2-x,分别求出△BPQ和△BEQ的面积,两个三角形的面积之和就是四边形PBEQ的面积为y.(2)根据梯形的定义,可以分三种情况讨论: ①PQ∥BE时,因为∠EBQ=30°,所以∠PQO=30°,再利用∠PQO的正切值列出算式即可求解, ②PE∥BQ时,因为点E是CD的中点,所以点P是CO的中点,根据AP的长度等于速度乘以时间列出算式即可求出; ③EQ∥BP时,过E作EH⊥DO,垂足为H,得到△QEH与△BPO相似,再根据相似三角形对应边成比例列出等式即可求出x的值. 【解析】 (1)①由题意得∠BAO=30°,AC⊥BD, ∵AB=2, ∴OB=OD=1,OA=OC=, ∴OP=,(2分) ②过点E作EH⊥BD,则EH为△COD的中位线, ∴, ∵DQ=x, ∴BQ=2-x, ∴y=S△BPQ+S△BEQ=×(2-x)(-2x)+×(2-x)×, =;(3分) (2)能成为梯形,分三种情况: ①当PQ∥BE时,∠PQO=∠DBE=30°, ∴, 即, ∴x=, 此时PB不平行QE, ∴x=时,四边形PBEQ为梯形.(2分) ②当PE∥BQ时,P为OC中点, ∴AP=,即, ∴, 此时,BQ=2-x=≠PE, ∴x=时,四边形PEQB为梯形.(2分) ③ 当EQ∥BP时,过E作EH⊥DO,垂足为H, ∴△QEH∽△BPO, ∴, ∴, ∴x=1(x=0舍去), 此时,BQ不平行于PE, ∴x=1时,四边形PEQB为梯形.(2分) 综上所述,当x=、或1时,以P,B,E,Q为顶点的四边形是梯形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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