如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过...

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H．若等边△ABC的边长为4，求FH的长．
（结果保留根号）

（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FH长．【解析】（1）DF与⊙O相切．证明：连接OD， ∵△ABC是等边三角形，DF⊥AC， ∴∠ADF=30°． ∵OB=OD，∠DBO=60°， ∴∠BDO=60°．（3分） ∴∠ODF=180°-∠BDO-∠ADF=90°． ∴DF是⊙O的切线．（5分）（2）∵△BOD、△ABC是等边三角形， ∴∠BDO=∠A=60°， ∴OD∥AC， ∵O是BC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴AD=BD=2，又∵∠ADF=90°-60°=30°， ∴AF=1． ∴FC=AC-AF=3．（7分） ∵FH⊥BC， ∴∠FHC=90°．在Rt△FHC中，sin∠FCH=， ∴FH=FC•sin60°=．即FH的长为．（10分）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等