如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上...

（1）由菱形ABCD的边长和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的长，进而确定A、C、D三点坐标，通过待定系数法可求出抛物线的解析式． （2）首先由A、B的坐标确定直线AB的解析式，然后求出直线AB与抛物线解析式的两个交点，然后通过观察图象找出直线y1在抛物线y2图象下方的部分． （3）该题的关键点是确定点P的位置，△APE的面积最大，那么S△APE=AE×h中h的值最大，即点P离直线AE的距离最远，那么点P为与直线AB平行且与抛物线有且仅有的唯一交点． 【解析】 （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=； Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3； OA=AD-OD=2，即： A（-2，0）、B（-5，4）、C（0，4）、D（3，0）； 设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-3），得： 2×（-3）a=4，a=-； ∴抛物线：y=-x2+x+4． （2）由A（-2，0）、B（-5，4）得直线AB：y1=-x-； 由（1）得：y2=-x2+x+4，则： ， 解得：，； 由图可知：当y1＜y2时，-2＜x＜5． （3）∵S△APE=AE•h， ∴当P到直线AB的距离最远时，S△APE最大； 若设直线L∥AB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P； 设直线L：y=-x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时， -x+b=-x2+x+4，且△=0； 求得：b=，即直线L：y=-x+； 可得点P（，）． 由（2）得：E（5，-），则直线PE：y=-x+9； 则点F（，0），AF=OA+OF=； ∴△PAE的最大值：S△PAE=S△PAF+S△AEF=××（+）=． 综上所述，当P（，）时，△PAE的面积最大，为．