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如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0)...

如图,抛物线manfen5.com 满分网的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.

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(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可. (2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标. (3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M. 【解析】 (1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a-×4-2,即:a=; ∴抛物线的解析式为:y=x2-x-2. (2)由(1)的函数解析式可求得:A(-1,0)、C(0,-2); ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即:OC2=OA•OB,又:OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0). (3)已求得:B(4,0)、C(0,-2),可得直线BC的解析式为:y=x-2; 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程: x+b=x2-x-2,即:x2-2x-2-b=0,且△=0; ∴4-4×(-2-b)=0,即b=-4; ∴直线l:y=x-4. 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: , 解得: 即 M(2,-3). 过M点作MN⊥x轴于N, S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB-S△OCB=×2×(2+3)+×2×3-×2×4=4.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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