如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）...

（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值． （2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1•x2的值． （3）确定M1，N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判断三角形的形状． （4）根据题意可知y=-1总与该圆相切． 【解析】 （1）∵直线y=kx+b过点F（0，1）， ∴b=1； （2）∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点， ∴可以得出：kx+b=x2， 整理得：x2-kx-1=0， ∵a=，c=-1， ∴x1•x2=-4， （3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）． 理由如下：设直线l与y轴的交点是F1， FM12=FF12+M1F12=x12+4， FN12=FF12+F1N12=x22+4， M1N12=（x2-x1）2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8， ∴FM12+FN12=M1N12， ∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形． （4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1． 过M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2）2， =（x1-x2）2+[（kx1+1）-（kx2+1）]2， =（x1-x2）2+k2（x1-x2）2， =（k2+1）（x1-x2）2， =（k2+1）[（x1+x2）2-4x1•x2] =（k2+1）（16k2+16） =16（k2+1）2， ∴MN=4（k2+1）， 分别取MN和M1N1的中点P，P1， PP1=（MM1+NN1）=（y1+1+y2+1）=（y1+y2+2）=（y1+y2）+1=k（x1+x2）+2=2k2+2， ∴PP1=MN 即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半． ∴以MN为直径的圆与l相切． 即对于过点F的任意直线MN，存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，这条直线m的解析式是y=-1．