如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角...

（1）连CD，由条件得到点D为AB的中点，则CD=AD，∠4=∠A=45°，易证△CDF≌△ADE，△CED≌△BFD，得到CF=AE，CE=BF，而CE2+CF2=EF2，因此得到结论． （2）把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，根据旋转的性质得到CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°，易证△CGE≌△CFE，得到GE=EF，即可得到结论AE2+BF2=EF2仍然成立； （3）把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，根据旋转的性质得到∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=CN，AF=AP，又△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，得到EF=BE+DF，则EF=EP，证得△AMQ≌△AMN，得到MN=QM，易证得∠QBN=90°，于是有BQ2+BM2=QM2，从而得到BM2+DN2=MN2． 证明：（1）连CD，如图4， ∵两个等腰直角三角形的相似比为1：， 而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边， ∴点D为AB的中点， ∴CD=AD，∠4=∠A=45°， 又∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ∴∠3=∠1， ∴△CDF≌△ADE， ∴CF=AE， 同理可得△CED≌△BFD， ∴CE=BF， 而CE2+CF2=EF2， ∴AE2+BF2=EF2； （2）结论AE2+BF2=EF2仍然成立．理由如下： 把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，如图5 ∴CF=CG，AG=BF，∠4=∠1，∠B=∠GAC=45°， ∴∠GAE=90°， 而∠3=45°， ∴∠2+∠4=90°-45°=45°， ∴∠1+∠2=45°， ∴△CGE≌△CFE， ∴GE=EF， 在Rt△AGE中，AE2+AG2=GE2， ∴AE2+BF2=EF2； （3）线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长．理由如下： 把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，如图 ∴∠4=∠2，∠1+∠3+∠4=90°，BP=DF，BQ=DN，AF=AP， ∵△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半， ∴EF=BE+DF， ∴EF=EP， ∴△AEF≌△AEP， ∴∠1=∠3+∠4， 而AQ=AN， ∴△AMQ≌△AMN， ∴MN=QM， 而∠ADN=∠QBA=45°，∠ABD=45°， ∴∠QBN=90°， ∴BQ2+BM2=QM2， ∴BM2+DN2=MN2．