已知：如图，直线交x轴于O1，交y轴于O2，⊙O2与x轴相切于O点，交直线O1O...

（1）可通过度数来求两角相等．连接O2F，那么∠O2PF=∠O2FP=∠OBP，因此O2F∥AB，这样可得出圆O2的圆心角∠OO2F=90°．因此∠OPF=45°，那么∠APO=90°-45°=45°，因此两角相等． （2）由于（1）中得出了O2F∥AB，因此只要证得DE⊥AB，就能得出DE⊥O2F，也就得出了DE是圆O2的切线的结论，那么关键是证明DE⊥AB．可通过垂径定理来求．延长ED交⊙O1于点H，那么就要求出DE=DH或BE=BH，那么就要先求出∠BEH=∠BHE．连接PE，那么∠BHE=∠EPB，那么证∠EPB=∠DEB即可．可通过相似三角形BEF和BPE来求得，这两个三角形中，已知了一个公共角，我们再看夹这个角的两组对边是否成比例．由于BO2=BF•BP，而BO=BE，因此BE2=BF•BP，由此可得出两三角形相似，进而可根据前面分析的步骤得出本题的结论． （3）MN的长度不变．这是因为点G是BC上的一个动点，但的O1C长度是不变的，它等于⊙的半径8，另外∠BO1C的大小也是始终不变的，因为所有的⊙O3都是等圆，故弧MGN也都是相等的，故弦MN都是相等的，求MN的长，可通过构建全等三角形来求解，过N作⊙O3的直径NK，连接MK，那么三角形NKM和EDO1全等，那么只要求出DE的长即可，根据直线的解析式，可得出O1，O2的坐标，也就求出了OO1，OO2的值，也就能得出圆O1的半径的长，进而可求出AD，BD的长然后根据DE2=AD•DB即可得出MN的值． 【解析】 （1）连接O2F． ∵O2P=O2F，O1P=O1B， ∴∠O2PF=∠O2FP，∠O1PB=∠O1BP， ∴∠O2FP=∠O1BP． ∴O2F∥O1B， 得∠OO2F=90°， ∴∠OPB=∠OO2F=45°． 又∵AB为直径， ∴∠APB=90°， ∴∠APO=∠BPO=45°． （2）延长ED交⊙O1于点H，连接PE． ∵BO为切线， ∴BO2=BF•BP． 又∵BE=BO， ∴BE2=BF•BP． 而∠PBE=∠EBF， ∴△PBE∽△EBF， ∴∠BEF=∠BPE， ∴BE=BH，有AB⊥ED． 又由（1）知O2F∥O1B， ∴O2F⊥DE， ∴EF为⊙O2的切线． （3）MN的长度不变． 过N作⊙O3的直径NK，连接MK．则∠K=∠MO1N=∠EO1D， 且∠NMK=∠EDO1=90°， 又∵NK=O1E， ∴△NKM≌△EDO1， ∴MN=ED． 而OO1=4，OO2=3， ∴O1O2=5， ∴O1A=8．即AB=16， ∵EF与圆O2相切， ∴O2F⊥ED， 则四边形OO2FD为矩形， ∴O2F=OD，又圆O2的半径O2F=3， ∴OD=3， ∴AD=7，BD=9． ED2=AD•BD， ∴ED=3． 故MN的长度不会发生变化，其长度为．