如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交A...

根据角平分线的定义得∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，则2∠1+2∠2+∠A=180°，∠1+∠2=90°-∠A，而∠1+∠2+∠BOC=180°，则180°-∠BOC=90°-∠A，可得到∠BOC=90°∠A；由EF∥BC得到∠1=∠3，∠2=∠4，易得∠EBO=∠3，∠4=∠FCO，则EB=EO，FC=FO，即BE+FC=EF，根据两圆的位置关系的判定方法得到以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；连OA，过O作OG⊥AE于G，根据内心的性质得OA平分∠BAC，由角平分线定理得到OG=OD=m，然后利用三角形的面积公式易得S△AEF=S△OAE+S△OAF=AE•m+AF•m=（AE+AF）•m=mn；若EF是△ABC的中位线，则EB=AE，FC=AF，而EB=EO，FC=FO，则AE=EO，AF=FO，即有AE+AF=EO+FO=EF，这不符合三角形三边的关系． 【解析】 如图 ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2， 而∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴2∠1+2∠2+∠A=180°， ∴∠1+∠2=90°-∠A， 又∵∠1+∠2+∠BOC=180°， ∴180°-∠BOC=90°-∠A， ∴∠BOC=90°∠A，所以①正确； ∵EF∥BC， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， 而∠1=∠EBO，∠2=∠FCO， ∴∠EBO=∠3，∠4=∠FCO， ∴EB=EO，FC=FO， ∴BE+FC=EF， ∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，所以②正确； 连OA，过O作OG⊥AE于G，如图， ∵点O为△ABC的内心， ∴OA平分∠BAC， ∴OG=OD=m， ∴S△AEF=S△OAE+S△OAF=AE•m+AF•m=（AE+AF）•m=mn，所以③不正确； ∵EB=EO，FC=FO， 若EF是△ABC的中位线，则EB=AE，FC=AF， ∴AE=EO，AF=FO， ∴AE+AF=EO+FO=EF，这不符合三角形三边的关系，所以④不正确． 故答案为①②．