顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．如图，矩形ABCD中，已知：AB=a，B...

（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明， ②根据三角形中位线定理得到四条边都相等， ③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形； （2）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积； （3）根据a与b的大小关系，分a＞2b，a=2b和a＜2b三种情况讨论； （4）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可． 【解析】 （1）①∵AH=BG，AH∥BG， ∴四边形ABGH是平行四边形， 又∵BG=AB，∴平行四边形ABGH是菱形， 即四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形；（2分） ②连接AC、BD，则EF=AC，EF∥AC；GH=AC，GH∥AC ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵BD=AC， ∴平行四边形EFGH是菱形， 即四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形；（3分） ③∵∠OAF=∠OCE，OA=OC，∠AOF=∠COE， ∴△AOF≌△COE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF垂直平分对角线AC， ∴FA=FC ∴平行四边形AECF是菱形， 即四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．（4分） （2）∵S菱形ABGH=a2＜a•AE=S菱形AECF S菱形EFGH=EG•FH＜AC•FE=S菱形AECF， ∴图（3）中菱形AECF是这三个不同的矩形ABCD的内接菱形面积最大的．（7分） （3）∵S菱形ABGH=a2，S菱形EFGH=EG•FH=ab 当ab时，S菱形ABGH＞S菱形EFGH； 当a=b时，S菱形ABGH=S菱形EFGH； 当ab时，S菱形ABGH＜S菱形EFGH．（9分） （4）在矩形ABCD中，还能画出第4种矩形内接菱形 （答案不唯一）．如图，AH=CF，EG垂直平分对角线FH．（10分）