如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且∠AD...

如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE．
（2）当D在什么位置时，△ABD≌△DCE．

（1）要证△ABD∽△DCE，根据已知，可知∠B=∠C，只需要再证∠DEC=∠ADB，利用三角形的外角等于不相邻的两内角之和，可证．那么△ABD∽△DCE；（2）由（1）中的相似，再加一个条件，即能全等，比如加上AB=CD即可．那么AB=AC=CD，再由△ABD≌△DCE，可得∠ADC=∠CAD，那么就有2∠EDC+45°=90°，即∠EDC=22.5度．【解析】（1）∵∠BAC=90°，AB=AC ∴∠B=∠C=45°，又因为∠DEC=∠ADE+∠CAD=45°+∠CAD（三角形的外角等于不相邻的两个内角之和），同理∠ADB=∠C+∠CAD=45°+∠CAD， ∴∠DEC=∠ADB又∠ABD=∠DCE=45°， ∴△ABD∽△DCE．（2）在Rt△ABC内，作∠BAD=22.5°，（即∠A的四等份线）交BC于D，则点D即为所求． ∵△ABD∽△DCE当AB=CD时，△ABD≌△DCE， ∵AB=AC， ∴CD=AC从而∠ADC=∠CAD．又∵∠C=∠B=45°，∠ADE=45°， ∴∠EDC=22.5°．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等