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如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm.设P,Q分别为BD,BC上的...

如图,在矩形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm.设P,Q分别为BD,BC上的动点,在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时,点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动,移动的速度均为1cm/s,设P,Q移动的时间为t(0<t≤4).
(1)写出△PBQ的面积S(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式,当t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
(2)当t为何值时,△PBQ为等腰三角形?
(3)△PBQ能否成为等边三角形?若能,求t的值;若不能,说明理由.

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(1)△BPQ中,可根据Q的速度用时间t表示出底边BQ的长,而BQ边上的高,可用BP•sinPBQ来表示,根据三角形的面积公式即可求出S、t的函数关系式,根据函数的性质即可得出S的最大值. (2)本题要分情况讨论: ①PB=BQ,可用t表示出BP,BQ的长,即可根据题设的等量关系求出t的值. ②PQ=BQ,过P作BD的垂线,设垂足为N,那么BN=,然后在直角三角形BQN中,用BN的长和∠DBC的正弦值表示出BN联立前面BN的表达式即可求出t的值. ③PB=PQ,过P作PM⊥BQ与M,解法同②类似. (3)如果三角形BPQ为等边三角形,必为(2)题三种条件中的一种,然后按(2)的条件判断三边是否相等即可. (其实本题可直接得出△PBQ不是等边三角形,因为∠PBQ不可能是60°). 【解析】 (1)如图1,自点P向BC引垂线,垂足为M,则PM∥DC, ∴. ∵DC=AB=3,BC=4, ∴BD==5. 当P,Q运动t秒后, DP=BQ=1•t=t,BP=5-t. ∴PM=. ∴S△PBQ=•BQ•PM=•t•=-(t-)2+. ∵0<t≤4, ∴当t=时,S取得最大值,最大值为. (2)若△BPQ是等腰三角形. ①如图2,当PB=PQ时,自点P向BC引垂线,垂足为M,则有BM=MQ. 方法一: 由△BMP∽△BCD,得, ∴BM=. ∴, 解得. 方法二: 在Rt△BMP中,BP=5-t,BM=,cos∠DBC=. ∴, 解得t=. ②当BQ=BP时,有t=5-t,解得t=. ③如图3,当BQ=PQ时,自点Q向BD引垂线,垂足为N. 由Rt△BNQ∽Rt△BCD, 得. ∴, 解得t=. (3)不能. 若△PBQ为等边三角形,则BQ=BP=PQ. 由(2)②,知当BQ=BP时,t=. 由(2)①,知当BP=PQ时,. ∴BQ=BP与BP=PQ不能同时成立,∴△PBQ不可能为等边三角形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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