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如图1,以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,...

如图1,以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,A点的坐标为(3,0),C点的坐标为(0,4).将矩形OABC绕O点逆时针旋转,使B点落在y轴的正半轴上,旋转后的矩形为OA1B1C1,BC,A1B1相交于点M.
(1)求点B1的坐标与线段B1C的长;
(2)将图1中的矩形OA1B1C1沿y轴向上平移,如图2,矩形PA2B2C2是平移过程中的某一位置,BC,A2B2相交于点M1,点P运动到C点停止.设点P运动的距离为x,矩形PA2B2C2与原矩形OABC重叠部分的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)如图3,当点P运动到点C时,平移后的矩形为PA3B3C3.请你思考如何通过图形变换使矩形PA3B3C3与原矩形OABC重合,请简述你的做法.
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(1)用勾股定理求矩形OABC的对角线OB长,得点B1的坐标;B1C=B1O-OC; (2)求分段函数,以A2落在BC上的时刻为界,将函数分为两段,画出图形,分别求函数解析式; (3)属于开放性问题,解法多种,主要是围绕旋转,平移轴对称解题. 【解析】 (1)如图1,因为OB1=OB==5, 所以点B1的坐标为(0,5). 因为C(0,4),所以OC=4, 则B1C=OB1-OC=5-4=1. (2)在矩形OA1B1C1沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中,点A1运动到矩形OABC的边BC上时, 重叠部分的面积为三角形PA2C的面积,A2C==,又A2P=3, 根据勾股定理得:CP=,即4-x= 求得P点移动的距离. 当自变量x的取值范围为0≤x<时, 如图2,由△B2CM1∽△B2A2P, 得CM1=,此时,y=S△B2A2P-S△B2CM1=×3×4-×(1+x), 即y=-(x+1)2+6(或y=-x2-x+). 当自变量x的取值范围为≤x≤4时, 求得y=S△PCM1′=(x-4)2(或y=x2-x+). (3)答案: ①把矩形PA3B3C3沿∠BPA3的角平分线所在直线对折. ②把矩形PA3B3C3绕C点顺时针旋转,使点A3与点B重合,再沿y轴向下平移4个单位长度. ③把矩形PA3B3C3绕C点顺时针旋转,使点A3与点B重合,再沿BC所在的直线对折. ④把矩形PA3B3C3沿y轴向下平移4个单位长度,再绕O点顺时针旋转,使点A3与点A重合. 提示:本问只要求整体图形的重合,不必要求图形原对应点的重合.
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考点分析:
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在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=6,等边三角形DEF从初始位置(点E与点B重合,EF落在BC上,如图1所示)在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移,DE、DF分别与AB相交于点M、N.当点F运动到点C时,△DEF终止运动,此时点D恰好落在AB上,设△DEF平移的时间为x.
(1)求△DEF的边长;
(2)求M点、N点在BA上的移动速度;
(3)在△DEF开始运动的同时,如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE⇒EF运动,最终运动到F点.若设△PMN的面积为y,求y与x的函数关系式,写出它的定义域;并说明当P点在何处时,△PMN的面积最大?
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九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中,进行了如下的课题研究:用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架,使长方形框架面积最大.
小组讨论后,同学们做了以下三种试验:
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请根据以上图案回答下列问题:
(1)在图案1中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m,当AB为1m,长方形框架ABCD的面积是______m2
(2)在图案2中,如果铝合金材料总长度为6m,设AB为xm,长方形框架ABCD的面积为S=______(用含x的代数式表示);当AB=______m时,长方形框架ABCD的面积S最大;在图案3中,如果铝合金材料总长度为lm,设AB为xm,当AB=______m时,长方形框架ABCD的面积S最大.
(3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案4这样的情形也存在着一定的规律.探索:如图案4如果铝合金材料总长度为lm共有n条竖档时,那么当竖档AB多少时,长方形框架ABCD的面积最大.
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如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(6,0),(6,8).动点M、N分别从O、B同时出发,以每秒1个单位的速度运动.其中,点M沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点N作NP⊥BC,交AC于P,连接MP.已知动点运动了x秒.
(1)P点的坐标为多少;(用含x的代数式表示)
(2)试求△MPA面积的最大值,并求此时x的值;
(3)请你探索:当x为何值时,△MPA是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果.

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如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0),B(0,-4),C(2,-4)三点,且与x轴的另一个交点为E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)用配方法求抛物线的顶点D的坐标和对称轴;
(3)求四边形ABDE的面积.

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如图,直线y=-x+3与x轴,y轴分别相交于点B,点C,经过B,C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线x=2.
(1)求A点的坐标;
(2)求该抛物线的函数表达式;
(3)连接AC.请问在x轴上是否存在点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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