如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=-2x+12的图象相交于点A，...

（1）可联立直线OA和AC的函数解析式组成方程组，即可求出A点的坐标． （2）先根据直线BC的解析式求出B点的坐标，然后根据已知的A点和原点坐标，用待定系数法即可求出过A、B、O三点的抛物线的解析式．进而可求出其顶点P的坐标． （3）如果设FM与y轴交于R，EN与y轴交于Q，不难得出三角形OEQ为等腰直角三角形，那么本题可分二种情况进行讨论： ①当EF＞QE时，那么重合部分的面积是个矩形的面积，以EF和QE为长和宽． ②当EF≤QE时，那么重复部分就是正方形EFMN的面积． 根据这两种情况可得出不同t的取值范围内的S，t的函数关系式． （4）可根据（3）的函数得出S的最大值及对应的t的值．然后根据t确定出E，F点的坐标，进而可求出直线EF的解析式，由此可判断出抛物线的顶点是否在直线EF上． 【解析】 （1）依题意得． 解得． ∴点A的坐标为（4，4）． （2）直线y=-2x+12与x轴交点B的坐标为（6，0）． 设过A、B、O的抛物线的表达式为y=ax2+bx， 依题意得． 解得． ∴所求抛物线的表达式为y=-x2+3x． y=-x2+3x=-（x-3）2+， ∴点P坐标（3，）． （3）设直线MF、NE与y轴交于点R、Q，则△OQE是等腰直角三角形． ∵OE=1×t=t， ∴EQ=OQ=， ∴E（，）． ∵EF∥y轴， ∴RF=，RO=-2×t+12=12-． ∴EF=RQ=12--=12-t． ①当EF＞QE时，即12-t＞t， 解得t＜3． ∴当0≤t＜3时，S=EF•QE=t（12-t）=-t2+6t． ②当EF≤QE时，即12-t≤， 解得t≥3． ∴当3≤t＜4时，S=EF2=（12-t）2． （4）当0≤t＜3时，S=-t2+6t=-（t-2）2+12． ∴当t=2时，S最大=12． 当3≤t＜4时，S最大=（）2=9． ∴当t=2时，S最大=12． 当t=2时，E（2，2），F（2，8）， ∵P（3，）， ∴点P不在直线EF上．