已知抛物线C1：y=-x2+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为...

（1）两抛物线关于y轴对称，它们的开口方向和大小都相同（即二次项系数a相同），与y轴的交点也相同（即常数项c相同），不同的只是对称轴方程，可据此求解； （2）由于两个抛物线关于y轴对称，根据轴对称的性质可判断出△ACB是等腰三角形；当m=1时，可过A作C1的对称轴AD，过C作AD的垂线，设垂足为E，利用A、C的坐标，求得AE、CE的长，从而证得∠ACE=45°，进而求出∠ACy=∠BCy=45°，即△ACB是等腰直角三角形； （3）若四边形ABCP是菱形，且P在C1上，那么C、P必关于AD对称，即CP经过E点；若四边形ABCP是菱形，则有：AB=BC，此时△ABC是等边三角形，那么∠ACy=∠BCy=30°，故∠ACE=60°；可仿照（2）的解题方法，表示出A、C的坐标，进而得到AE、CE的长，以∠ACE的正切值作为等量关系即可求得m的值． 【解析】 （1）y=-x2-2mx+n； （2）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形， 理由如下：如图： ∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上， ∴AC=BC，过点A作抛物线C1的对称轴交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E． ∴当m=1时，顶点A的坐标为A（1，1+n）， ∴CE=1； 又∵点C的坐标为（0，n）， ∴AE=1+n-n=1， ∴AE=CE； 从而∠ECA=45°， ∴∠ACy=45°， 由对称性知∠BCy=∠ACy=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形； （3）假设抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC． 由（2）知，AC=BC， ∴AB=BC=AC， 从而△ABC为等边三角形． ∴∠ACy=∠BCy=30°． ∵四边形ABCP为菱形，且点P在C1上， ∴点P与点C关于AD对称， ∴PC与AD的交点也为点E， 因此∠ACE=90°-30°=60°． ∵点A，C的坐标分别为A（m，m2+n），C（0，n）， ∴AE=m2+n-n=m2，CE=|m|． 在Rt△ACE中，． ∴，∴． 故抛物线C1上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时．