如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交...

(1)60；(2)证明见解析；(3). 【解析】 （1）由CD⊥AB和M是OA的中点，利用三角函数可以得到∠DOM＝60°，进而得到△OAD是等边三角形，∠OAD＝60°． （2）只需证明DE⊥OD．便可以得到DE与⊙O相切． （3）利用圆的综合知识，可以证明，∠CND＝90°，∠CFN＝60°，根据特殊角的三角函数值可以得到FN的数值． 【解析】 (1)如图1，连接OD，AD ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB ∴AB垂直平分CD ∵M是OA的中点， ∴OM＝OA＝OD ∴cos∠DOM＝＝， ∴∠DOM＝60° 又：OA＝OD ∴△OAD是等边三角形 ∴∠OAD＝60° 故答案为：60° (2)∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径， ∴CM＝MD． ∵M是OA的中点， ∴AM＝MO． 又∵∠AMC＝∠DMO， ∴△AMC≌△OMD． ∴∠ACM＝∠ODM． ∴CA∥OD． ∵DE⊥CA， ∴∠E＝90°． ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°． ∴DE⊥OD． ∴DE与⊙O相切． (3)如图2，连接CF，CN， ∵OA⊥CD于M， ∴M是CD中点． ∴NC＝ND． ∵∠CDF＝45°， ∴∠NCD＝∠NDC＝45°． ∴∠CND＝90°． ∴∠CNF＝90°． 由(1)可知∠AOD＝60°． ∴∠ACD=∠AOD=30°． 在Rt△CDE中，∠E＝90°，∠ECD＝30°，DE＝3， ∴CD=， 在Rt△CND中，∠CND＝90°，∠CDN＝45°，CD＝6， ∴CN=CD·sin45°=3． 由(1)知∠CAD＝2∠OAD＝120°， ∴∠CFD＝180°﹣∠CAD＝60°． 在Rt△CNF中，∠CNF＝90°，∠CFN＝60°，CN=3， ∴FN=．