问题：（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C...

问题：（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　　；

探索：（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

（1）BC＝DC＋EC；（2）BD2＋CD2＝2AD2；（3）AD＝6. 【解析】（1）易证△BAD≌△CAE，即可得到BC＝DC＋EC （2）连接CE，易证△BAD≌△CAE，再得到ED＝AD，然后在Rt△ECD中利用勾股定理即可求得其关系；（3）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，先证△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，故2AD2＝BD2－CD2，再解出AD的长即可. 【解析】 (1)BC＝DC＋EC． ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴BD＝CE， ∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD． (2)BD2＋CD2＝2AD2. 证明如下：连接CE，如解图1所示． ∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°. ∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°. ∵∠EAD＝90°，AE＝AD， ∴ED＝AD．在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2＝CE2＋CD2， ∴BD2＋CD2＝2AD2. (3)将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，如解图2所示，则AE＝AD，∠EAD＝90°， ∴△EAD是等腰直角三角形， ∴DE＝AD，∠AED＝45°. ∵∠ABC＝∠ACB＝ADC＝45°， ∴∠BAC＝90°，AB＝AC．同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC＝45°， ∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°. 在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2， ∴2AD2＝BD2－CD2. ∵BD＝9，CD＝3， ∴2AD2＝92－32＝72， ∴AD＝6(负值已舍去)．

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考点分析：

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