如图1,点和矩形的边都在直线上,以点为圆心,以24为半径作半圆,分别交直线于两点...

跳绳是大家喜闻乐见的一项体育运动,集体跳绳时,需要两人同频甩动绳子,当绳子甩到最高处时,其形状可近似看作抛物线,下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图,两人拿绳子的手之间的距离为4,离地面的高度为1,以小明的手所在位置为原点建立平面直角坐标系.

(1)当身高为15的小红站在绳子的正下方,且距小明拿绳子手的右侧1处时,绳子刚好通过小红的头顶,求绳子所对应的抛物线的表达式;

(2)若身高为的小丽也站在绳子的正下方.

①当小丽在距小亮拿绳子手的左侧1.5处时,绳子能碰到小丽的头吗?请说明理由；

②设小丽与小亮拿绳子手之间的水平距离为,为保证绳子不碰到小丽的头顶,求的取值范围.(参考数据: 取3.16)

如图, ,且,直线经过点.设，于点,将射线绕点按逆时针方向旋转,与直线交于点.

(1)当时,        ；

(2)求证: ；

(3)若的外心在其内部,直接写出的取值范围.

如图,在直角坐标系中,矩形的顶点与坐标原点重合,顶点分别在坐标轴的正半轴上, ,点在直线上,直线与折线有公共点.

（1）点的坐标是             ；

（2）若直线经过点，求直线的解析式；

（3）对于一次函数，当随的增大而减小时，直接写出的取值范围.

如图,认真观察下面这些算式,并结合你发现的规律,完成下列问题:

（1）请写出：

算式⑤                ；

算式⑥                ；

（2）上述算式的规律可以用文字概括为:“两个连续奇数的平方差能被8整除”,如果设两个连续奇数分别为和 (为整数),请说明这个规律是成立的;

(3)你认为“两个连续偶数的平方差能被8整除”这个说法是否也成立呢?请说明理由.

学校为了提高学生跳远科目的成绩,对全校500名九年级学生开展了为期一个月的跳远科目强化训练。王老师为了了解学生的训练情况,强化训练前,随机抽取了该年级部分学生进行跳远测试,经过一个月的强化训练后,再次测得这部分学生的跳远成绩,将两次测得的成绩制作成图所示的统计图和不完整的统计表(满分10分,得分均为整数).

根据以上信息回答下列问题:

(1)训练后学生成绩统计表中,并补充完成下表:

(2)若跳远成绩9分及以上为优秀,估计该校九年级学生训练后比训练前达到优秀的人数增加了多少?

(3)经调查,经过训练后得到9分的五名同学中,有三名男生和两名女生,王老师要从这五名同学中随机抽取两名同学写出训练报告,请用列表或画树状图的方法,求所抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.