△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DE...

△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长．

（1）证明见解析；（2）证明见解析，．【解析】试题（1）由AB=AC，AP=AQ可得BP=CQ，又因BE=CE，∠B=∠C=45°，利用“SAS”判定△BPE≌△CQE；（2）连接PQ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，所以∠BEP=∠EQC；再由两角对应相等的两个三角形相似可得△BPE∽△CQE，根据相似三角形的性质可得，把BP=a，CQ=代入上式可求得BE=CE=，再求得，AB=AC=BC•sin45°=3a，所以，，在Rt△APQ中，由勾股定理可得．试题解析：【解析】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ， ∴BP=CQ， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE，在△BPE和△CQE中， ∵， ∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）【解析】连接PQ， ∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， ∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C， ∴∠BEP+45°=∠EQC+45°， ∴∠BEP=∠EQC， ∴△BPE∽△CQE, ∴， ∵BP=a，CQ=a，BE=CE， ∴， ∴BE=CE=， ∴， ∴AB=AC=BC•sin45°=3a， ∴，，在Rt△APQ中，．

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考点分析：

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如图，AB是⊙O的直径， P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连结CD交AB于点E．