已知，如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A，...

已知，如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）y=﹣x2+2x+3；（2）点M的坐标为（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）；（3）点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．【解析】试题（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c的值即可；（2）设M的坐标为（x，y），由△ACM与△ABC的面积相等可得到|y|=3，将y=3或y=-3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而得到点M的坐标；（3）先利用配方法求得点D的坐标，当∠DNA=90°时，DN⊥OA，可得到点N的坐标，从而得到AN=2，然后再求得AD的长；当∠N′DA=90°时，依据sin∠DN′A=sin∠ADN可求得AN′的长，从而可得到N′的解析式．试题解析：（1）将x=0代入AB的解析式得：y=3， ∴B（0，3）．将y=0代入AB的解析式得：﹣x+3=0，解得x=3， A（3，0）．将点A和点B的坐标代入得：，解得：b=2，c=3． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）设M的坐标为（x，y）． ∵△ACM与△ABC的面积相等， ∴AC•|y|=AC•OB． ∴|y|=OB=3．当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得x=0或x=2， ∴M（2，3）、（0、3）．当y=﹣3时，﹣x2+2x+3=3，解得：x=1+或x=1﹣． ∴M（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．综上所述点M的坐标为（0、3）或2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4， ∴D（1，4）． ①当∠DNA=90°时，如图所示： ∵∠DNA=90°时， ∴DN⊥OA．又∵D（1，4） ∴N（1，0）． ∴AN=2． ∵DN=4，AN=2， ∴AD=2． ②当∠N′DA=90°时，则DN′A=∠NDA． ∴，即，解得：AN′=10． ∵A（3，0）， ∴N′（﹣7，0）．综上所述点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．

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考点分析：

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某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．

（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？

（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？

（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？

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如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．

（1）求证：直线CE是⊙O的切线．

（2）若BC＝3，CD＝3，求弦AD的长．