（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝12，则AB的...

（1）4；（2）PM的最大值为16+8．（3）存在，四边形ABB′C的面积的最大值＝24+40． 【解析】 （1）如图1中，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AB即可． （2）如图2中，连接OA，OB，OM，OP．首先证明△OAB是等边三角形，再根据PM≤OP+OM求出OM即可解决问题． （3）如图3中，连接AD，AE，作DH⊥AB于H．首先证明△ABE∽△CBB′，推出△ABE的面积最大时，△CBB′的面积最大，此时四边形ABB′C的面积最大，求出△AEB的面积的最大值即可解决问题． 【解析】 （1）如图1中，作AH⊥BC于H． ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝BC＝6，∠B＝∠C＝30°， 在Rt△ABH中，AB＝ 故答案为4． （2）如图2中，连接OA，OB，OM，OP． ∵OA＝OB＝AB＝16， ∴△OAB是等边三角形， ∵AM＝BM， ∴OM⊥AB， OM＝OA•sin60°＝8， ∵PM≤OM+OP， ∴PM≤16+8， ∴PM的最大值为16+8． （3）如图3中，连接AD，AE，作DH⊥AB于H． ∵AC＝AB＝8，∠CAB＝120°，CD＝DB， ∴AD⊥BC，∠DAB=∠CAB＝60°， ∴AD＝AB•cos60°＝4，DH＝AD•sin60°＝2， ∵△ABC，△EBB′都是顶角为120°的等腰三角形， ∴∠ABC＝∠EBB′＝30°，， ∴∠ABE＝∠CBB′， ∴△ABE∽△CBB′， ∴△ABE的面积最大时，△CBB′的面积最大，此时四边形ABB′C的面积最大， ∵DE＝2， ∴点E的运动轨迹是以D为圆心DE为半径的圆上运动， 当点E在HD的延长线上时，EH＝2+2，且EH⊥AB，此时△ABE的面积最大，最大面积＝×8×（2+2）＝8+8． ∵， ∴△CBB′的面积的最大值＝24+24， ∴四边形ABB′C的面积的最大值＝×8×4+24+24＝24+40．