如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，C...

(1)等边三角形；(2)不发生改变，理由见解析；(3)△PMN的周长的最大值为12. 【解析】 (1)观察猜想： 如图1，先根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，则BD＝CE，再根据三角形中位线性质得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，从而得到FH＝GH，∠FHG＝60°，从而可判断△FGH为等边三角形； (2)探究证明： 连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，与(1)一样可得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD，可得FH＝GH，∠BHF＝∠BCE，∠CHG＝∠CBD，则计算出∠BHF+∠CHG＝120°，从而得到∠FHG＝60°，于是可判断△FHG为等边三角形. (3)拓展延伸： 利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD(当且仅当点B、A、D共线时取等号)得到BD的最大值为8，则GH的最大值为4，然后可确定△FHG的周长的最大值. 【解析】 (1)观察猜想： 如图1，∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AD＝AE， ∴BD＝CE， ∵点F，G，H分别是BE，CD，BC的中点 ∴FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD， ∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCA＝60°，∠CHG＝∠CBA＝60°， ∴∠FHG＝60°， ∴△FGH为等边三角形； 故答案为：等边三角形； (2)探究证明： △PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形. 理由如下：连接CE、BD，如图2， ∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， 与(1)一样可得FH∥CE，FH＝CE，GH∥AD，GH＝BD， ∴FH＝GH，∠BHF＝∠BCE，∠CHG＝∠CBD， ∴∠BHF+∠CHG＝∠BCE+∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°， ∴∠FHG＝60°， ∴△FHG为等边三角形. (3)拓展延伸： ∵GH＝BD， ∴当BD的值最大时，GH的值最大， ∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD(当且仅当点B、A、D共线时取等号) ∴BD的最大值为2+6＝8， ∴GH的最大值为4， ∴△PMN的周长的最大值为12.