如图，正方形ABCD的边长是6，点E、F分别是边AD、AB的点,AP⊥BE于点P...

(1)AT＝3或3；(2)CP⊥PF，证明见解析. 【解析】 （1）解Rt△BAE，求出∠ABE＝30°，然后分三种情况进行讨论：①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°时，点T和点P重合，不符合题意；②当点T在AB的下方，∠ATB＝90°时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得TF＝BF＝AF＝3，而∠BFT＝60°，那么△FTB是等边三角形，TB＝3，再根据勾股定理求出AT； ③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时，解直角三角形求出BT，然后在Rt△ATB中利用勾股定理求出AT； （2）先证明∠1＝∠3＝∠4，由tan∠1＝，tan∠3＝，得出，等量代换得到，然后可证明△PBC∽△PAF，得出∠5＝∠6，进而可得∠5＋∠7＝90°，即∠CPF＝90°，那么CP⊥PF． 【解析】 （1）在正方形ABCD中，可得∠DAB＝90°， ∵在Rt△BAE中，tan∠ABE＝， ∴∠ABE＝30°， 点T是射线PF上的一个动点，当△ABT为直角三角形时，分三种情况： ①当点T在AB的上方，∠ATB＝90°， 此时点T和点P重合，与题意不符； ②当点T在AB的下方，∠ATB＝90°， 如图所示，在Rt△APB中，由AF＝BF，可得：AF＝BF＝PF＝3， ∴∠BPF＝∠FBP＝30°， ∴∠BFT＝60°， 在Rt△ATB中，TF＝BF＝AF＝3， ∴△FTB是等边三角形， ∴TB＝3，AT＝； ③当点T在AB的下方，∠ABT＝90°时， 如图所示，在Rt△FBT中，∠BFT＝60°，BF＝3，BT＝BF•tan60°＝， 在Rt△ATB中：AT＝， 综上所述：当△ABT为直角三角形时，AT的长为或； （2）CP⊥PF， 证明：如图所示，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC，AD∥BC，∠DAB＝90°， ∴∠3＝∠4， ∵在Rt△EAB中，AP⊥BE， ∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠3＝∠4， ∵tan∠1＝，tan∠3＝， ∴， ∵AE＝AF，AB＝BC， ∴， ∴△PBC∽△PAF， ∴∠5＝∠6． ∵∠6＋∠7＝90°， ∴∠5＋∠7＝90°，即∠CPF＝90°， ∴CP⊥PF．