综合与实践 问题情境 如图，同学们用矩形纸片ABCD开展数学探究活动，其中AD=...

（1）AE的长为；（2）见解析；（3） 【解析】 （1）由矩形的性质得出AB=CD=6，∠A=90°，由菱形的性质得出BE=DE=AD-AE=8-AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）连接MC，证出△ACA′是等腰直角三角形，得出∠CA′A=45°，由直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出A′M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA′，证出∠BCM=∠DA′M，由SAS证明△BCM≌△DA′M，得出BM=DM，∠BMC=∠DMA′，由角的雇佣关系证出∠BMD=90°，即可得出结论； （3）延长AC′、A′C交于点M，由旋转的性质得：BC′=BA，BA′=BC，∠A′BC=∠ABC′，∠BA′C=∠BC′A，证出∠BAC=∠BC′A=∠BCA′=∠BA′C，由四边形内角和定理得出∠A′BC′+∠M=180°，证出∠M=90°，得出AC′⊥A′C，证明△ABC′∽△C′BA′，得出对应边成比例,即可求得AC′=A′C． （1）【解析】 ∵四边形ABCD是矩形，AD=8，CD=6， ∴AB=CD=6，∠A=90°， ∵四边形BEDF是菱形， ∴BE=DE=AD-AE=8-AE， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2， 即62+AE2=（8-AE）2， 解得：AE= ； ′ （2）证明：连接MC，如图2所示： 根据题意得：△ABC≌△CDA′，∠CDA′=90°， ∴AC=A′C，∠BCA=∠CA′D，∠CA′D+∠A′CD=90°， ∴∠BCA+∠A′CD=90°， ∵点B，C，D在同一条直线上， ∴∠ACA′=90°， ∴△ACA′是等腰直角三角形， ∴∠CA′A=45°， ∵M是AA′的中点， ∴A′M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA′， ∵∠BCA=∠CA′D， ∴∠BCA+∠MCA=∠CA′D+∠CA′A， ∴∠BCM=∠DA′M， 在△BCM和△DA′M中， ∴△BCM≌△DA′M（SAS）， ∴BM=DM，∠BMC=∠DMA′， ∵∠CMD+∠DMA′=90°， ∴∠CMD+∠BMC=90°， ∴∠BMD=90°， ∴△BMD是等腰直角三角形； （3）【解析】 AC′⊥A′C，AC′=A′C，理由如下： 延长AC′、A′C交于点M，如图3所示： 由旋转的性质得：BC′=BA，BA′=BC，∠A′BC=∠ABC′，∠BA′C=∠BC′A， ∴∠BAC=∠BC′A，∠BCA′=∠BA′C， ∴∠BAC=∠BC′A=∠BCA′=∠BA′C， ∵∠BC′A+∠BC′M=180°， ∴∠BA′C+∠BC′M=180°， ∴∠A′BC′+∠M=180°， ∵∠A′BC′=∠ABC=90°， ∴∠M=90°， ∴AC′⊥A′C， ∵∠BAC=∠BC′A=∠BCA′=∠BA′C， ∴△ABC′∽△CBA′， ∴ , ∴AC′=A′C.