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如图,直线y=﹣2x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c...

如图,直线y=﹣2x+3x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线yax2+x+c经过BC两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图,点E是直线BC上方抛物线上的一动点,当△BEC面积最大时,请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值?

(3)(2)的结论下,过点Ey轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以PQAM为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

 

(1)y=﹣2x2+x+3;(2)点E的坐标是(,)时,△BEC的面积最大,最大面积是;(3)在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标是(﹣,﹣3)或(2,﹣3)或(﹣,2). 【解析】 (1)首先根据直线y=﹣2x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,求出点B的坐标是(0,3),点C的坐标是(4,0);然后根据抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点,求出a、c的值是多少,即可求出抛物线的解析式. (2)首先过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,然后设点E的坐标是(x,﹣2x2+x+3),则点M的坐标是(x,﹣2x+3),求出EM的值是多少;最后根据三角形的面积的求法,求出S△ABC,进而判断出当△BEC面积最大时,点E的坐标和△BEC面积的最大值各是多少即可. (3)在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.然后分三种情况讨论,根据平行四边形的特征,求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可. (1)∵直线y=﹣2x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B, ∴点B的坐标是(0,3),点C的坐标是(,0), ∵抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点, ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为:y=﹣2x2+x+3; (2)如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F, ∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点, ∴设点E的坐标是(x,﹣2x2+x+3), 则点M的坐标是(x,﹣2x+3), ∴EM=﹣2x2+x+3﹣(﹣2x+3)=﹣2x2+3x, ∴S△BEC=S△BEM+S△MEC =EM•OC =×(﹣2x2+3x)× =﹣(x﹣)2+, ∴当x=时,即点E的坐标是(,)时,△BEC的面积最大,最大面积是; (3)在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形, ①如图2,AM∥PQ,AM=PQ. 由(2),可得点M的横坐标是, ∵点M在直线y=﹣2x+3上, ∴点M的坐标是(,), 又∵抛物线y=﹣2x2+x+3的对称轴是x=, ∴设点P的坐标是(x,﹣2x2+x+3), ∵点A的坐标是(﹣1,0), ∴xP﹣xA=xQ﹣xM,x﹣(﹣1)=﹣, 解得x=﹣, 此时P(﹣,﹣3); ②如图3,由(2)知,可得点M的横坐标是, ∵点M在直线y=﹣2x+3上, ∴点M的坐标是(,), 又∵抛物线y=﹣2x2+x+3的对称轴是x=, ∴设点P的坐标是(x,﹣2x2+x+3),点Q的横坐标是, ∵点A的坐标是(﹣1,0), ∴xQ﹣xA=xP﹣xM,即﹣(﹣1)=x﹣, 解得x=2, 此时P(2,﹣3); ③如图4,由(2)知,可得点M的横坐标是, ∵点M在直线y=﹣2x+3上, ∴点M的坐标是(,), 又∵抛物线y=﹣2x2+x+3的对称轴是x=, ∴设点P的坐标是(x,﹣2x2+x+3),点Q的横坐标是, ∵点A的坐标是(﹣1,0), ∴xP﹣xA=xM﹣xQ,即x﹣(﹣1)=﹣, 解得x=﹣, 此时P(﹣,2); 综上所述,在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标是(﹣,﹣3)或(2,﹣3)或(﹣,2).
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