问题：（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C...

问题：（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　　；

探索：（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

（1）BC＝DC＋EC；（2）BD2＋CD2＝2AD2；（3）AD＝6. 【解析】（1）易证△BAD≌△CAE，即可得到BC＝DC＋EC （2）连接CE，易证△BAD≌△CAE，再得到ED＝AD，然后在Rt△ECD中利用勾股定理即可求得其关系；（3）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，先证△ABE≌△ACD，再利用在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2，故2AD2＝BD2－CD2，再解出AD的长即可. 【解析】 (1)BC＝DC＋EC． ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴BD＝CE， ∴BC＝BD＋CD＝EC＋CD． (2)BD2＋CD2＝2AD2. 证明如下：连接CE，如解图1所示． ∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°. ∵∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE(SAS)， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°. ∵∠EAD＝90°，AE＝AD， ∴ED＝AD．在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2＝CE2＋CD2， ∴BD2＋CD2＝2AD2. (3)将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接CE，BE，如解图2所示，则AE＝AD，∠EAD＝90°， ∴△EAD是等腰直角三角形， ∴DE＝AD，∠AED＝45°. ∵∠ABC＝∠ACB＝ADC＝45°， ∴∠BAC＝90°，AB＝AC．同(2)的方法，可证得△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD，∠AEB＝∠ADC＝45°， ∴∠BEC＝∠AEB＋∠AED＝90°. 在Rt△BED中，由勾股定理，得DE2＝BD2－BE2， ∴2AD2＝BD2－CD2. ∵BD＝9，CD＝3， ∴2AD2＝92－32＝72， ∴AD＝6(负值已舍去)．

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考点分析：

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如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．

（1）思路梳理

将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；

（2）类比引申

如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.

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（问题情境）如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．

（1）（问题解决）延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断出中线AD的取值范围是　　．

（反思感悟）解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑构造以该中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同个三角形中，从而解决问题．

（2）（尝试应用）如图②，△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，试猜想线段AB，AC，AD之间的数量关系，并说明理由．

（3）（拓展延伸）如图③，△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，DM⊥DN，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连接MN．当BM=4，MN=5，AC=6时，请直接写出中线AD的长．

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已知，如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=3，连接DE．

（1）DE的长为　　．

（2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ABP和△DCE全等？

（3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度仅沿着BE向终点E运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，是否存在t，使△PDE为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；否则，说明理由．

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如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）求证：CE平分∠ACF；

（3）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．

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如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC

①求证：△ABE≌△CBD；

②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等