如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E，F在对角线BD上，AE∥CF．（1...

如图，已知正方形ABCD中，AB＝4，点E，F在对角线BD上，AE∥CF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若∠ABE＝2∠BAE，求DF的长．

（1）见解析；（2）DF＝4﹣4．【解析】（1）利用平行线性质和正方形的性质可得∠AEB=∠CFD，∠ABE=∠CDF，AB=CD，则借助AAS可证明△ABE≌△CDF；（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点，证明∠HAE=∠HEA，得到AH=HE．设BE=DF=HE=AH=x，则HB=x．根据AB=4，构造关于x的方程，解方程即可．【解析】（1）∵AE∥CF， ∴∠AEF＝∠CFB． ∴∠AEB＝∠CFD． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠CDF，AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）．（2）过点E作HE⊥BE，交AB于H点， ∴∠BHE＝∠HBE＝45°． ∵∠ABE＝2∠BAE， ∴∠BHE＝2∠BAE．又∵∠BHE＝∠HAE+∠AEH， ∴∠HAE＝∠HEA． ∴AH＝HE．设BE＝DF＝HE＝AH＝x，则HB＝ ∴＝4，解得x＝4﹣4． ∴DF＝4﹣4．

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考点分析：

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