已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、M...

已知正方形ABCD和正方形CGEF，且D点在CF边上，M为AE中点，连接MD、MF，

（1）如图1，请直接给出线段MD、MF的数量及位置关系是；

（2）如图2，把正方形CGEF绕点C顺时针旋转，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请给出你的结论并证明；

（3）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转30°时，CF边恰好平分线段AE，请直接写出的值．

(1)MD=MF，MD⊥MF；(2)MD=MF，MD⊥MF仍成立，理由详见解析；(3)．【解析】试题（1）延长DM交EF于点P，易证AM=EM，即可证明△ADM≌△EPM，可得DM=PM，根据△DFP是直角三角形即可解题；（2）延长DM交CE于点N，连接FN、DF，易证∠DAM=∠NEM，即可证明△ADM≌△ENM，可得EN=AD，DM=MN，可证CD=EN，即可证明△CDF≌△ENF，可得DF=NF，即可解题；（3）根据（1）可得MD=MF，MD⊥MF，若CF边恰好平分线段AE，则CF过点M，最后根据Rt△CDM中，∠DCF=30°，即可求得的值．试题解析：（1）线段MD、MF的数量及位置关系是MD=MF，MD⊥MF，理由：如图1，延长DM交EF于点P， ∵四边形ABCD和四边形FCGE是正方形， ∴AD∥EF，∠MAD=∠MEP，∠CFE=90°． ∴△DFP是直角三角形． ∵M为AE的中点， ∴AM=EM．在△ADM和△EPM中， ∠MAD=∠MEP，AM=EM，∠AMD=∠EMP， ∴△ADM≌△EPM（ASA）， ∴DM=PM，AD=PE， ∴M是DP的中点． ∴MF=DP=MD， ∵AD=CD， ∴CD=PE， ∵FC=FE， ∴FD=FP， ∴△DFP是等腰直角三角形， ∴FM⊥DP，即FM⊥DM．故答案为MD=MF，MD⊥MF；（2）MD=MF，MD⊥MF仍成立．证明：如图2，延长DM交CE于点N，连接FN、DF， ∵CE是正方形CFEG对角线， ∴∠FCN=∠CEF=45°， ∵∠DCE=90°， ∴∠DCF=45°， ∵AD∥BC， ∴∠DAM=∠NEM，在△ADM和△ENM中，∠MAD=∠NEM，AM=EM，∠AMD=∠EMN， ∴△ADM≌△ENM（ASA）， ∴EN=AD，DM=MN， ∵AD=CD， ∴CD=EN，在△CDF和△ENF中， CD=EN，∠DCF=∠CEF=45°，CF=EF， ∴△CDF≌△ENF，（SAS） ∴DF=NF， ∴FM=DM，FM⊥DM．（3）如图所示，若CF边恰好平分线段AE，则CF过点M，由（1）可得FM=DM，FM⊥DM，设FM=DM=1， ∵∠DCF=30°， ∴Rt△DCM中，CM=，CD=2=CB， ∴CF=+1=CG， ∴=．

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考点分析：

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2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题：

(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30)；

(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？

(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？

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如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，BC=12，点E是弧BC的中点.

(1)过点E作BC的平行线交AB的延长线于点D，求证：DE是⊙O的切线.

(2)点F是弧AC的中点，求EF的长.