我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．...

我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I为△ABC的内心．

（1）如图1，连接AI并延长交BC于点D，若AB=AC=3，BC=2，求ID的长；

（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．

①若MN⊥AI，求证：MI2=BM•CN；

②如图3，AI交BC于点D，若∠BAC=60°，AI=4，求的值．

（1）；（2）见解析；（3）．【解析】（1）如图1中，作IE⊥AB于E．设ID=x．由△BEI≌△BDI，可得ID=IE=x，BD=BE=1，AE=2，在Rt△AEI中，根据AE2+EI2=AI2，可得解方程即可；（2）如图2中，连接BI、CI．首先证明△AMI≌△ANI（ASA），再证明△BMI∽△INC，可得，推出NI2=BM•CN，由此即可解决问题；（3）过点N作NG∥AD交MA的延长线于G．由∠ANG=∠AGN=30°，推出AN=AG，由AI∥NG，推出，可得即可推出（1）如图1中，作IE⊥AB于E．设ID=x． ∵AB=AC=3，AI平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=CD=1，在Rt△ABD中， ∵∠EBI=∠DBI，∠BEI=∠BDI=90°，BI=BI， ∴△BEI≌△BDI， ∴ID=IE=x，BD=BE=1，AE=2，在Rt△AEI中，∵AE2+EI2=AI2， ∴ ∴ ∴ （2）如图2中，连接BI、CI． ∵I是内心， ∴∠MAI=∠NAI， ∵AI⊥MN， ∴∠AIM=∠AIN=90°， ∵AI=AI， ∴△AMI≌△ANI（ASA）， ∴∠AMN=∠ANM， ∴∠BMI=∠CNI，设∠BAI=∠CAI=α，∠ACI=∠BCI=β， ∴∠NIC=90°﹣α﹣β， ∵∠ABC=180°﹣2α﹣2β， ∴∠MBI=90°﹣α﹣β， ∴∠MBI=∠NIC， ∴△BMI∽△INC， ∴ ∴NI2=BM•CN， ∵NI=MI， ∴MI2=BM•CN．（3）过点N作NG∥AD交MA的延长线于G． ∴∠ANG=∠AGN=30°， ∴AN=AG， ∵AI∥NG， ∴ ∴ ∴

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