已知：如图1，在△ABC中，点D在AB上，连接CD. DE平分∠BDC交BC于点...

已知：如图1，在△ABC中，点D在AB上，连接CD. DE平分∠BDC交BC于点E，且DE∥AC, 若F为AC的中点，连接DF．

（1）求证：DF⊥DE．

（2）若BE：CE=2：3，S△CDE＝9，求△ABC的面积．

（3）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥DE交AB于点N，交CD于点G，若BD=a，DG=b.试求CD的长（用a、b的代数式表示）．

（1）见解析；（2）；（3）a+2b 【解析】（1）由DE平分∠BDC知∠BDE=∠CDE，由DE∥AC知∠BDE=∠A，∠CDE=∠ACD，从而得∠A=∠ACD，即AD=CD，再由F为AC的中点知DF⊥AC，结合DE∥AC即可得证；（2）由BE：CE=2：3可得S△BDE：S△CDE=2：3，根据S△CDE=9得S△BDE=×9＝6，证△BDE∽△BAC可得，据此可得答案；（3）证MN∥AC，结合M为BC的中点知BN=AN，由DE平分∠BDC知∠BDE=∠CDE，再证∠BNM=∠DGN得DN=DG=b，据此知BN=BD+DN=a+b=AN，AD=AN+DN=a+b+b=a+2b，结合AD=CD可得答案．（1）证明：∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE＝∠CDE ∵DE∥AC ∴∠BDE＝∠A，∠CDE＝∠ACD ∴∠A＝∠ACD ∴AD＝CD ∵F为AC的中点， ∴DF⊥AC 又∵DE∥AC， ∴DF⊥DE；（2）【解析】 ∵BE：CE=2：3， ∴S△BDE ：S△CDE =2：3 ∵S△CDE＝9 ∴S△BDE＝ ∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC ∴ ∴S△ABC＝S△BDE÷＝6×＝；（3）【解析】 ∵MN∥DE，DE∥AC， ∴MN∥AC 又∵M为BC的中点， ∴ ∴BN＝AN 又∵DE平分∠BDC ∴∠BDE＝∠CDE ∵DE∥MN ∴∠BDE＝∠BNM，∠CDE＝∠DGN ∴∠BNM＝∠DGN， ∴DN＝DG=b ∴BN＝BD+DN=a+b=AN ∴AD＝AN+DN=a+b+b=a+2b 由（1）可知：CD=AD= a+2b.

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考点分析：

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已知：如图所示的一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连结AF和CE．