在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到． （1）如图（1），当点在线段的延...

如图，将菱形纸片沿对角线剪开，得到和，固定，并把与叠放在一起．

操作：如图，将的顶点固定在的边上的中点处，绕点在边上方左右旋转，设旋转时交于点（点不与点重合），交于点（点不与点重合）．

求证：

操作：如图，的顶点在的边上滑动（点不与、点重合），且始终经过点，过点作，交于点，连接．

探究：________．请予证明．

课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．

（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

如图，已知，且，求的值．

如图，在梯形中，，，对角线、相交于点．

（1）和的面积分别是和，求的面积．

（2）设、的面积分别是、，你能用和来表示梯形的面积吗？

已知两相似三角形对应高的比为，且大三角形的面积为，求小三角形的面积，又这两三角形的周长差为，则它们的周长分别为多少？