问题背景：如图1：在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120∘ ,∠B=∠...

问题背景：EF=BE+DF，理由见解析；探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；实际应用：210海里. 【解析】 问题背景：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题； 探索延伸：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解题； 实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后与（2）同理可证． 问题背景：EF=BE+DF，证明如下： 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为： EF=BE+DF； 探索延伸：结论EF=BE+DF仍然成立， 理由：延长FD到点G．使DG=BE，连结AG，如图2， 在△ABE和△ADG中，， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF； 实际应用：如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C， ∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°， ∴∠EOF=∠AOB， 又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF=AE+BF成立， 即EF=2×（45+60）=210（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里．