如图，在平面直角坐标系中，A（3，4），B（5，0），连结AO，AB．点C是线段...

如图，在平面直角坐标系中，A（3，4），B（5，0），连结AO，AB．点C是线段AO上的动点（不与A，O重合），连结BC，以BC为直径作⊙H，交x轴于点D，交AB于点E，连结CD，CE，过E作EF⊥x轴于F，交BC于G．

（1）AO的长为　　，AB的长为　　（直接写出答案）

（2）求证：△ACE∽△BEF；

（3）若圆心H落在EF上，求BC的长；

（4）若△CEG是以CG为腰的等腰三角形，求点C的坐标．

（1）5，2；（2）见解析；（3）4；（4）（，），（，）【解析】（1）利用两点间距离公式计算即可；（2）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；（3）当GC＝GE时，点G与点H重合，根据三角函数和勾股定理解答即可；（4）分两种情形画出图形,利用锐角三角函数和相似三角形的性质分别求解即可解决问题．【解析】（1）∵A（3，4），B（5，0）． ∴OA＝＝5，OB＝5，AB＝．故答案为：5；2．（2）如图1中， ∵OA＝OB＝5， ∴∠A＝∠EBF， ∵BC是直径， ∴∠BEC＝∠AEC＝90°， ∵EF⊥OB， ∴∠EFB＝90°， ∴∠AEC＝∠EFB＝90°， ∴△ACE∽△BEF；（3）如图2中，当GC＝GE时，点G与点H重合， ∴GE＝GB＝GC， ∴∠GEB＝∠EBG， ∵∠GEB+∠ABO＝90°， ∴∠EBG+∠ABO＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∴∠A+∠EBG＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AO， ∴OC＝OB•cos∠AOB， ∵A（3，4），OA=5， ∴cos∠AOB＝， ∴OC＝5×=3， ∴BC＝=；（4）①如图2中，当GC＝GE时，点G与点H重合， ∴GE＝GB＝GC， ∴∠GEB＝∠EBG， ∵∠GEB+∠ABO＝90°， ∴∠EBG+∠ABO＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∴∠A+∠EBG＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AO， ∵A（3，4），OA=5， ∴cos∠AOB＝， ∴OC＝OB•cos∠AOB=5×＝3， ∴OD= OC•cos∠AOB=3×＝，CD==， ∴C（，）． ②如图3中，当CE＝CG时，作AK⊥OB于K．设CD＝4k，OD＝3k． ∵A（3，4），B（5，0）， ∴AK=4，OK=3，OB=5，BK=2， ∵CE＝CG， ∴∠CEG＝∠CGE＝∠BGF， ∵∠CEG+∠BEF＝90°，∠BGF+∠CBD＝90°， ∴∠CBD＝∠BEF， ∵EF⊥OB，AK⊥OB， ∴EF∥AK， ∴∠BEF＝∠BAK， ∴∠CBD＝∠BAK， ∵∠CDB＝∠AKB＝90°， ∴△CBD∽△BAK， ∴， ∴， ∴k＝， ∴C（，）．

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考点分析：

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