如图，四边形ABCD，，，连接BD． （1）如图1，求证DB平分； （2）如图2...

（1）见解析；（2）见解析；（3）7 【解析】 （1）过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥DC于F．根据四边形内角和为360°得到∠A+∠DCB=180°．再根据同角的补角相等得到∠A=∠FCB．即可证明△AEB≌△CFB，得到BE=BF，根据到角两边距离相等的点在角平分线上即可得到结论； （2）如图2中，在BD截取DE=AD，连接AE，首先证明△ADE是等边三角形，只要证明△DAC≌△EAB（SAS），即可解决问题； （3）如图3中，作EN∥DC交BD于N，在DF上截取DM=DC．想办法证明△CFM≌△EBN（AAS），△DGC≌△NGE（AAS），即可解决问题． （1）如图1．过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥DC于F． ∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠A+∠DCB=180°． ∵∠DCB+∠FCB=180°，∴∠A=∠FCB． ∵BE⊥AD，BF⊥DC，∴∠AEB=∠CFB=90°． 在△AEB和△CFB中，∵∠A=∠FCB，∠AEB=∠CFB=90°，AB=CB， ∴△AEB≌△CFB， ∴BE=BF． ∵BE⊥AD，BF⊥DC，BE=BF，∴DB平分∠ADC； （2）如图2中，在BD截取DE=AD，连接AE， ∵AB=CB，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°． ∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ADC=120°． 由（1）得：DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB=60°． ∵DE=AD，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE=AE． ∵∠DAE=∠CAB=60°，∴∠DAC=∠BAE， 在△DAC与△EAB中，∵， ∴△DAC≌△EAB（SAS），∴DC=BE． ∵BD=BE+DE，∴BD=AD+CD， 即BD﹣CD=AD． （3）作EN∥DC交BD于N，在DF上截取DM=DC． ∵∠ADC=120°，∴∠CDM=60°． ∵DM=DC，∴△DMC是等边三角形， ∴CM=CD=DM，∠DMC=60°，∴∠FMC=120°． ∵CD∥EN，∴∠CDG=∠ENG=60°， ∴∠ENB=120°，∴∠CMF=∠ENB． ∵∠F+∠FBD=∠ADB=60°，∠FBD+∠EBN=60°， ∴∠F=∠EBN． 在△CFM和△EBN中，∵∠CMF=∠ENB，∠F=∠EBN，CF=BE， ∴△CFM≌△EBN（AAS），∴FM=BN，EN=CM=CD． ∵EN∥CD，∴∠CDG=∠GNE． ∵∠DGC=∠EGN，∴△DGC≌△NGE（AAS）， ∴DG=GN=3，∴2BD=AF﹣FM+DN+BN=8+6=14，∴BD=7．