综合与实践：问题情境：在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，将△ABE沿直线A...

综合与实践：

问题情境：在矩形ABCD中，点E为BC边的中点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B与点F重合，直线AF交直线CD于点G.

特例探究　实验小组的同学发现：

（1）如图1，当AB＝BC时，AG＝BC＋CG，请你证明该小组发现的结论；

（2）当AB＝BC＝4时，求CG的长；

延伸拓展：（3）实知小组的同学在实验小组的启发下，进一步探究了当AB∶BC＝∶2时，线段AG，BC，CG之间的数量关系，请你直接写出实知小组的结论：___________．

（1）见解析；（2）1；（3）AG＝BC＋CG 【解析】（1）如图1中，连接EG．只要证明△EGF≌△EGC即可解决问题；（2）只要证明△ABE∽△ECG，即可推出，由此即可解决问题；（3）如图2中，连接EG．由△AEB≌△AEF，△EGF≌△EGC，推出AB=AF，BE=EF=EC，FG=GC，由AB∶BC=BC=∶2，推出AB=BC，可得AG=AF+FG=AB+CG=BC+CG．【解析】 (1)证明：连接EG. ∵△AEF是由△AEB翻折得到，点E为BC边的中点， ∴EB＝EF＝EC，AB＝AF，∠AFE＝∠B＝∠C＝90°. 在Rt△EGF和Rt△EGC中，， ∴Rt△EGF≌Rt△EGC(HL)． ∴FG＝GC. ∵AB＝AF＝BC， ∴AG＝AF＋FG＝BC＋CG. (2)∵△EGF≌△EGC， ∴∠GEF＝∠GEC. ∵∠AEB＝∠AEF，∠BEC＝180°， ∴∠AEG＝90°. ∴∠AEB＋∠GEC＝90°，∠AEB＋∠BAE＝90°. ∴∠GEC＝∠BAE. ∵∠B＝∠C， ∴△ABE∽△ECG. ∴ ∵EC＝2， ∴CG＝1；（3）如图2中，连接EG． ∵△AEB≌△AEF，△EGF≌△EGC， ∴AB=AF，BE=EF=EC，FG=GC， ∵AB：BC=BC=∶2， ∴AB=BC， ∴AG=AF+FG=AB+CG=BC+CG．即AG=BC+CG．

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考点分析：

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如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．