已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、C...

已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α．

（1）当α＝40°时，∠BPC＝　　°，∠BQC＝　　°；

（2）当α＝　　°时，BM∥CN；

（3）如图②，当α＝120°时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数；

（4）在α＞60°的条件下，直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：　　．

（1）70， 125；（2）60；（3）45°；（4）∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．【解析】（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB＝180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC的度数；（4）分别用∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解．【解析】（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°， ∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线， ∴∠CBP+∠BCP＝（∠DBC+∠BCE）＝110°， ∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°， ∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线， ∴∠QBC＝∠PBC，∠QCB＝∠PCB， ∴∠QBC+∠QCB＝55°， ∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；（2）∵BM∥CN， ∴∠MBC+∠NCB＝180°， ∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC＝α， ∴（∠DBC+∠BCE）＝180°，即（180°+α）＝180°，解得α＝60°；（3）∵α＝120°， ∴∠MBC+∠NCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（180°+α）＝225°， ∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；（4）∵α＞60°， ∠BPC＝90°﹣α ∠BQC＝135°﹣α ∠BOC＝α﹣45°． ∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣α）+（135°﹣α）+（α﹣45°）＝180°．故答案为：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．

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考点分析：

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